Estudo propõe avanço na matemática que permite enxergar melhor relações ocultas

Agência FAPESP * – Algumas conexões são visíveis: um aperto de mão, uma ligação de telefone, um fio de energia plugando um aparelho à tomada. Mas e aquelas que não podem ser vistas? O cérebro humano é uma rede gigantesca de impulsos elétricos que se conectam e desconectam em milésimos de segundo. O clima se organiza em padrões complexos de correntes de ar e variações de temperatura. A economia global pulsa com oscilações financeiras que se espalham de um país para outro. Como capturar essas redes invisíveis e compreender as conexões que estruturam o mundo?

Um novo estudo publicado na revista Stochastic Processes and their Applications por cientistas do Centro de Pesquisa, Inovação e Difusão em Neuromatemática (NeuroMat) propõe um avanço na matemática que permite enxergar melhor essas relações ocultas ao longo do tempo. O NeuroMat é um Centro de Pesquisa, Inovação e Difusão (CEPID) apoiado pela FAPESP, com sede na Universidade de São Paulo (USP).

Ao estudar redes complexas, cientistas enfrentam um problema fundamental: como identificar padrões de conexão quando os elementos dessa rede mudam constantemente ao longo do tempo? Modelos matemáticos tradicionais fazem isso assumindo que cada evento ocorre de forma independente, como se um relâmpago hoje não tivesse relação com a tempestade de ontem ou um neurônio disparasse sem levar em conta sua atividade anterior, o que não é verdade.

Para resolver esse problema, os pesquisadores usaram um modelo baseado em campos aleatórios de Markov, do inglês Markov random fields (MRF), com evolução temporal, que descreve sistemas em que cada elemento interage com os elementos vizinhos, mas a evolução no tempo não é independente.

Os MRFs são ferramentas fundamentais para modelar redes complexas e aparecem em áreas tão diversas quanto reconhecimento de imagens, neurociência e previsão do tempo. No entanto, até agora, muitos estudos aplicavam esse modelo em sistemas em que se assumia que os eventos ocorriam de forma independente ao longo do tempo, algo que raramente é verdadeiro no mundo real.

Estimador da independência

O estudo resolve uma das principais limitações desses modelos: a necessidade de que as variáveis sejam independentes ao longo do tempo para garantir que o estimador, ou seja, a função matemática, funcione corretamente. Em muitos sistemas naturais e sociais essa independência simplesmente não existe. Até agora, faltava um método que garantisse a precisão da reconstrução das redes nesses cenários.

Os pesquisadores demonstraram matematicamente que o estimador pode convergir corretamente mesmo quando as variáveis não são independentes, desde que satisfaçam uma propriedade chamada mixing condition. Essa propriedade assegura que, apesar da dependência temporal, o impacto de eventos passados diminui ao longo do tempo, permitindo que o modelo aprenda corretamente a estrutura da rede sem precisar armazenar uma quantidade infinita de informações.

Essa prova matemática é um avanço significativo porque permite aplicar campos aleatórios de Markov de maneira mais ampla, sem a limitação da independência dos eventos ao longo do tempo, abrindo caminho para análises mais precisas em áreas como neurociência, previsão climática e sistemas econômicos.

Várias aplicações

Redes que evoluem no tempo estão por toda parte: no cérebro, no clima, nas interações sociais. Entender suas conexões invisíveis é um passo essencial para interpretar fenômenos que vão desde oscilações financeiras até padrões de propagação de epidemias.

Além disso, o estudo reforça a importância dos modelos matemáticos na compreensão da natureza. Se os físicos do século 19 descobriram que forças invisíveis como o magnetismo podiam ser descritas matematicamente, hoje os matemáticos podem se dedicar a revelar padrões ocultos que regem sistemas vivos, sociais e ambientais.

O método desenvolvido no estudo pode ser aplicado a diferentes áreas que lidam com dados dinâmicos de séries temporais para desenvolver modelos preditivos. Os pesquisadores agora acreditam que possam surgir novas formas de aplicar essa técnica para analisar redes de larga escala, como sistemas de previsão climática e modelos de comunicação neural.

O artigo Model selection for Markov random fields on graphs under a mixing condition pode ser lido em: www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S030441492400231X.

* Com informações do NeuroMat.
 

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